Найдите сумму целых решений неравенства [tex]2^{3x+4}-10\cdot4^{x}+2^{x}\leq0[/tex]
2⁴·2^(3x ) - 10·2^(2x) + 2^x ≤ 0
Делаем замену: 2^x = у ОДЗ: у>0
16у³ - 10у² + у ≤ 0
разложим на множители функцию
z = 16у³ - 10у² + у
y(16у² - 10² + 1)
16у² - 10² + 1 = 0
D = 100 - 64 = 36
√D = 6
y₁ =(10 - 6):32 = 4/32 = 1/8
y₁ =(10 + 6):32 = 16/32 = 1/2
Решаем неравенство z = у(у - 1/8)(у - 1/2) ≤ 0 методом интервалов с учётом того, что у≠0
z(-1) <0, z(1/16) > 0, z(3/16) < 0, z(1) >0
С учётом ОДЗ неравенство у(у - 1/8)(у - 1/2) ≤ 0 верно при у∈[1/8; 1/2]
Вспоминаем о замене 2^x = у и получаем
2^x = 1/8 ⇒ х = -3
2^x = 1/2 ⇒ х = -1
Неравенство верно при х∈[-3; -1]
Целые решения этого неравенства: -3, -2, -1. Их сумма -6
Ответ: -6
с
[tex]2^{3x+4}-10*4^x+2x\leq0[/tex]
[tex]2^{3x}*2^4-10*4^x+2^x\leq0|:4^x\ (4^x\neq0) [/tex]
[tex]16*\frac{2^{3x}}{4^x}-10*\frac{4^x}{4^x}+\frac{2^x}{4^x}\leq0[/tex]
[tex]16*(\frac{2^3}{4})^x-10+(\frac{2}{4})^x\leq0[/tex]
[tex]16*2^x-10+(\frac{1}{2})^x\leq0[/tex]
Пусть [tex]2^x=t,\ t>0(*):[/tex]
[tex]16t-10+\frac{1}{t}\leq0[/tex]
[tex]\frac{16t^2-10t+1}{t}\leq0[/tex]
[tex]t\neq0[/tex]
[tex]16t^2-10t+1=0[/tex]
[tex]D=(-10)^2-4*16=100-64=36;[/tex]
[tex]t_1=\frac{10+\sqrt{36}}{32}=\frac{10+6}{32}=\frac{1}{2},[/tex]
[tex]t_2=\frac{10-6}{32}=\frac{1}{8}[/tex]
[tex]16t^2-10t+1=16(t-\frac{1}{2})(t-\frac{1}{8})=0[/tex]
[tex]\frac{16(t-\frac{1}{2})(t-\frac{1}{8})}{t}\leq0[/tex]
Пользуясь методом интервалов, получаем: [tex]t<0[/tex](не удоволетворяет условию (*)) и [tex]\frac{1}{8}\leq t\leq\frac{1}{2}[/tex] (удов. усл. (*))
[tex]\frac{1}{8}\leq 2^x\leq\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2^3}\leq 2^x\leq\frac{1}{2^1}[/tex]
[tex]2^{-3}\leq 2^x\leq2^{-1}[/tex]
[tex]-3\leq x\leq-1[/tex]
[tex]x=-2[/tex]
[tex]-3\leq-2\leq-1[/tex]
Итак, целые решения неравенства: [tex]-3,\ -2,\ -1.[/tex]
Их сумма: [tex]-3+(-2)+(-1)=-6[/tex]
Ответ: сумма целых решений неравенства равна -6.
