[tex]\displaystyle\begin{cases}x^2+y^2=4\\x+y=2\end{cases}[/tex]
Решение
[tex]\displaystyle\begin{cases}x^2+y^2=4\\x+y=2\end{cases}[/tex]
[tex]\displaystyle\begin{cases}x^2+y^2=4\\x=2-y\end{cases}[/tex]
Подставим значение x из второго уравнения в первое:
[tex]x^2+y^2=4[/tex]
[tex](2-y)^2+y^2=4[/tex]
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
[tex]2^2-2\cdot2y+y^2+y^2=4[/tex]
[tex]4-4y+y^2+y^2=4[/tex]
[tex]-4y+y^2+y^2=0[/tex]
[tex]-4y+2y^2=0[/tex]
[tex]-2y(2-y)=0\;|:(-2)[/tex]
[tex]y(2-y)=0[/tex]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно:
1) y = 0
или
2) 2 - y = 0
- y = 0 - 2
- y = - 2
y = 2
Значит уравнение (2 - y)² + y² = 4 имеет два корня: y₁ = 0 и y₂ = 2.
Подставим каждое из полученных значений y в уравнение x = 2 - y:
1) При y = 0, получим: x = 2 - y = 2 - 0 = 2.
2) При y = 2, получим: x = 2 - y = 2 - 2 = 0.
Значит решениями системы являются следующие пары чисел: x₁ = 2, y₁ = 0 и x₂ = 0, y₂ = 2.
Проверка
[tex]\displaystyle\begin{cases}x^2+y^2=4\\x+y=2\end{cases}[/tex]
1.
[tex]\begin{cases}2^2+0^2=4\\2+0=2\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}4=4\\2=2\end{cases}[/tex]
2.
[tex]\begin{cases}0^2+2^2=4\\0+2=2\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}4=4\\2=2\end{cases}[/tex]
Ответ
x₁ = 2, y₁ = 0 и x₂ = 0, y₂ = 2.
