Пусть F - точка пересечения АВ и DM, G - точка
пересечения AN и CD, К - точка пересечения продолжения AD c прямой
CК II BD;
Для
треугольника ABD AO, BP DF - чевианы, и BO/OD = BC/AD = 1/4;
AF*BO*DP/(FB*OD*AP)
= 1; AF/FB = 4; (это можно сразу заметить - ВР - медиана ABD, поэтому FO должно
быть параллельно AD... докажите, полезно!)
По
теореме Ван-Обеля AM/MO = AF/FB + AP/PD = 4 + 1 = 5;
MO =
AO/6 = (1/6)*(4/5)AC = (2/15)*AC;
Точно
также из треугольника ACD получается NO = (2/15)*BD;
По
построению, CE II BD, то есть треугольник ACK подобен треугольнику MON,
коэффициент подобия равен 2/15.
Поскольку BDKC – параллелограмм, AK = AD + BC,
и площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2,
где H –
расстояние от С до AD,
то есть – высота трапеции.
То есть площадь ACK равна площади трапеции S.
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 8/9;
