1) Если основание логарифма
0 < a(a - 2)/8 < 1
0 < a^2 - 2a < 8
{ a(a - 2) > 0
{ a^2 - 2a - 8 = (a - 4)(a + 2) < 0
Получается
{ a < 0 U a > 2
{ a < -2 U a > 4
Область определения: a < -2 U a > 4
При этом функция логарифма - убывающая. Тогда
2^x + a^2/2^x <= a(a - 2)/8
Замена 2^x = y > 0 при любом х
y + a^2/y - a(a - 2)/8 <= 0
(8y^2 - a(a - 2)*y + 8a^2) / y <= 0
y > 0 при любом х, поэтому
8y^2 - (a^2 - 2a)*y + 8a^2 <= 0
Это неравенство не может быть верно при любом y, только на отрезке (y1; y2)
Значит, если 0 < a(a - 2)/8 < 1, то решений нет.
2) Если основание
a(a - 2)/8 > 1
a^2 - 2a > 8
a^2 - 2a - 8 > 0
(a - 4)(a + 2) > 0
Область определения: a < -2 U a > 4
При этом функция логарифма - возрастающая. Тогда
2^x + a^2/2^x >= a(a - 2)/8
Замена 2^x = y > 0 при любом х
y + a^2/y - a(a - 2)/8 >= 0
8y^2 - (a^2 - 2a)*y + 8a^2 >= 0
D = (a^2 - 2a)^2 - 4*8*8a^2 = a^4 - 4a^3 + 4a^2 - 256a^2 = a^4 - 4a^3 - 252a^2
Если это верно при любом х (и при любом у), то D < 0
a^4 - 4a^3 - 252a^2 < 0
Делим все на a^2 > 0
a^2 - 4a - 252 < 0
D/4 = 4 + 252 = 256 = 16^2
a1 = 2 - 16 = -14; a2 = 2 + 16 = 18
Решение: (-14, 18)
С учетом области определения:
a < -2 U a > 4
Ответ: (-14; -2) U (4; 18)
